Hallo,
ich kann dir nicht genau sagen wie das JTL
Hosting funktioniert, aber generell ist der Ablauf so das beim bisherigen Anbieter die Domain für einen Wechsel gekündigt wird.
Vom Anbieter erhält man dann einen sogenannten AUTH-Code. Dann beantragt man beim neuen Anbieter seine (schon vorhandene Domain) und gibt an das man eine bestehende übernehmen möchte.
Durch den AUTH-Code verifiziert man quasi das man der Inhaber ist und berechtigt ist den Wechsel durchzuführen. Um den Rest kümmert sich dann der neue Anbieter.
Denn Webspace eben auch kündigen, Inhalt per FTP downloaden und auf neuen Webspace hochladen. Sobald die Domain geändert ist --->> TaaaDaaa fertig.
Hoffe der Ablauf hilft dir ein wenig weiter, ist alles kein Hexenwerk wenn man nicht spezielle Einstellungen vorgenommen hat. Nur bedenken das sich E-Mail Server auch ändern.